谱聚类再探

本文最后更新于 2024年6月7日 下午

首先查阅相关的资料，比较谱聚类算法与传统的聚类算法K-mean的区别。

K-mean

K-mean实现：

  1. 确定K值，随机选取K个点
  2. 以这K个点为中心质点，对原始数据集中中的每个点分别计算离哪个中心点更近
  3. 计算结束就将原始数据集分为K个类，对K个类重新计算中心质点（平均值法）
  4. 若全部K类新计算出的中心质点与该类上一个中心质点的距离小于一个阈值，则认为聚类操作已经收敛了，聚类结束
  5. 否则重复步骤2-4

K-mean的优缺点主要如下：

  • 优点：
    1. 原理简单，易于理解
    2. 聚类效果不错
  • 缺点：
    1. 需要提前确定K值（划分种类数）
    2. 个别噪点对于总体效果影响较大

Spectral Clustering

需要先了解：

  1. 邻接矩阵W：衡量两个点之间关系（比如位置上接近，表示两个点关联紧密）的一个矩阵，常有很多的衡量方法。
  2. 度矩阵D：是一个对角矩阵，对角线上每一行元素的值为邻接矩阵W中每行元素值的和。
  3. 拉普拉斯矩阵L：该矩阵具有很多的性质，谱聚类算法与这些性质密切相关
    1. 拉普拉斯矩阵是一个半正定矩阵
    2. 对于任何向量L下列式子成立image20200630114848909.png

主要思想：

如果有A和B两个子图，两个子图间的联系是不是可以用下面这种方式来表示呢？

[公式]

我们只要使上面的式子最小化，是不是就可以保证两个子图联系最小，就可以认为这是两个不相关的部分。

但是如果单纯依靠这种方式，会导致倾向于将孤立的点切开，因为单独一个点到其他部分的权值肯定是最小的。怎么避免这种问题出现呢？有两种办法：

  • 一是将最小化目标改成如下：

    image20200630121230220.png

  • 而是将最小化目标改为：

    image20200630121326983.png

这也就引出了谱聚类的两种常用方法。

但是怎么最小化这个值呢？

我们以第一个RdtioCut为例。大神们发现，可以引入一个向量 $h_j (1<=j<=k)$ ，这个向量表示的是什么呢？

image20200630121735543.png

向量 $h_j$中的每个值 $h_{ij} (1<=i<=n)$ 有两种取值，表示坐标点 $i$ 是不是属于子图 $A_j$ ，$|A_j|$ 表示子图中节点数量

对这个向量进行如下的运算：

image20200322223247236.png

我们会惊奇的发现这不就是我们最小化的目标吗？只不过现在图中的点只分为了两部分（属于$A_i$ 和不属于）

如果我们想将图分为更多的子图，那么我们的目标就成为了：划分K个子图，每个子图和子图以外部分的连接权重和最小。也即使如下公式最小：

image20200630123607324.png

我们还知道向量 $h_i$和$h_j$是表示点划分的两种情况，$h_i$表示属于$A_i$的点，$h_j$表示属于$A_j$的点。那么这两个向量就应该是正交的。并且 $ h^T h = 1 $。这时我们引入瑞丽商的性质：

  • 当 $h_i^T * h_i=1 $
  • $h_i^T L h_i$等于L的特征值

也就意味着我们最小化的目标变为了求：$H^T L H (H={h_1,h_2…h_k})$ 这个式子最小的k个特征值，他们对应的就是划分最准确的情况。但还有一个问题，我们得到了最小的K个特征值和他们对应的特征向量，怎能才能利用他们聚类呢？其实，我们可以把所得特征值向量对每个样本的表示看作是一种类别编码，我们通过传统聚类的方法能够得到最终结果。

另外

对于Ncut稍不同于上面的RatioCut。因为Ncut中，虽然也引入了一个向量$h_i$，但是向量定义为如下，$vol(A_j)$ 表示的是子图中节点度的和。

image20200630125353234.png

然后步骤都类似于RatioCut只不过在利用瑞丽商的时候出现了问题，因为 $ h^T h = 1 $并不成立了。所以需要采取一些办法，根据

image20200322222411822.png

$m_i^T m_i=1 $

$m_i=D^{1/2}*h_i$

我们需要把现在的 $h_i$ 变成 $m_i$

也即 $h_i^T L h_i = m_i^T * D^{-1/2} * L * D^{-1/2} * m_i =h_i^T * D^{1/2} * D^{-1/2} * L * D^{-1/2} * D^{1/2} * h_i$

此时要求特征值的矩阵变为： $D^{-1/2} * L * D^{-1/2}$

谱聚类实现步骤：

  1. 定义邻接矩阵W
    • ε 近邻法
      • 只取距离小于ε的边，否则为0
    • K 近邻法
      • 两点互为K近邻，否则为0
      • 其一为K近邻，否则为0
    • 全连接法
      • 常采用高斯核函数的方法，每两个点之间的权值都不为0
  2. 度矩阵 D
    • 可根据邻接矩阵W得
  3. 拉普拉斯矩阵矩阵 L
    • $L= D - W$
  4. 正规化
    • $D^{-1/2} L D^{-1/2}$
  5. 计算特征向量
    • 计算K个最小特征值对应的特征向量$h_i$,特征向量组成矩阵$H^{n*k}$
  6. H标准化
    • 消除奇异值带来的影响

以上是谱聚类第一大部分，降维

  1. H使用K-mean进行最后的聚类
    • 得出结果

这是谱聚类的第二大部分，聚类

NCut 推导细节

image20200322223222295.png

RadioCut推导细节

image20200322223247236.png

谱聚类优势

  • 效果好
  • 由于采用了降维的思想，处理高维数据时有优势

实现代码

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# coding=utf-8
import math
import random

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import PIL.Image as image
import scipy.io as sio
from sklearn.cluster import KMeans


def loadIMG(filePath):
    img = image.open(filePath)  # 返回图片的像素值

    img = img.convert("RGB")
    m, n = img.size  # 返回图片的大小

    img_vector = np.array(img)

    pixel_vector = []

    for i in range(n):
        for j in range(m):
            if(img_vector[i][j][0] < 150 and img_vector[i][j][1] < 150 and img_vector[i][j][2] < 150):

                pixel_vector.append(np.array([j, i]))

    return pixel_vector


def loaddata():
    # 读取数据
    file = 'GaussianData.mat'
    # 文件名
    file = 'ringData.mat'
    data = sio.loadmat(file)
    matrix = np.array(data['Dataset'])
    return matrix


def distanceRgb(p1, p2):
    r1, g1, b1 = p1[0], p2[1], p2[2]
    r2, g2, b2 = p2[0], p2[1], p2[2]
    rmean = (r1+r2)/2
    r = r1-r2
    g = g1-g2
    b = b1-b2
    return math.sqrt((2+rmean)*(r**2)+4*(g**2)+(2+(255/256-rmean))*(b**2))


def distance(p1, p2):
    # 欧式距离
    return np.linalg.norm(p1-p2)


def getWbyKNN(data, k):
    # data:点阵坐标信息
    points_num = len(data)
    # 点数量：300
    dis_matrix = np.zeros((points_num, points_num))
    # 创建矩阵300*300
    W = np.zeros((points_num, points_num))
    # 创建矩阵300*300
    for i in range(points_num):
        for j in range(i+1, points_num):
            dis_matrix[i][j] = dis_matrix[j][i] = distance(data[i], data[j])
    # 将每个点与其他点的相似度表示成矩阵
    for idx, each in enumerate(dis_matrix):
        index_array = np.argsort(each)
        # 排序
        W[idx][index_array[1:k+1]] = 1
        # 找出距离第idx个点距离最近的k个点
        # 距离最短的是自己，所以取1到k+1
    tmp_W = np.transpose(W)
    # 转置
    W = (tmp_W+W)/2
    # 转置相加除以2是为了让矩阵对称
    return W


def getD(W):
    # 获得度矩阵
    points_num = len(W)
    D = np.diag(np.zeros(points_num))
    # 转换成对角阵
    for i in range(points_num):

        D[i][i] = sum(W[i])
    return D


def getEigVec(L, cluster_num):
    # 从拉普拉斯矩阵获得特征矩阵
    eigval, eigvec = np.linalg.eig(L)
    # 特征值、特征向量
    lenght = len(eigval)
    dictEigval = dict(zip(eigval, range(0, lenght)))
    kEig = np.sort(eigval)[0:cluster_num]
    # 排序
    ix = [dictEigval[k] for k in kEig]

    return eigval[ix], eigvec[:, ix]
    # 取特征值和对应的列向量


def randRGB():
    # 添加颜色，便于区分
    return (random.randint(0, 255)/255.0,
            random.randint(0, 255)/255.0,
            random.randint(0, 255)/255.0)


def plot(matrix, C, k):
    colors = []
    for i in range(k):
        colors.append(randRGB())
    for idx, value in enumerate(C):
        try:
            plt.plot(matrix[idx][0], matrix[idx][1],
                     'o', color=colors[int(C[idx])])
        except:
            pass
    plt.show()


if __name__ == '__main__':
    pixel_vector = loadIMG("./test.jpg")
    # print(pixel_vector)
    cluster_num = 2
    KNN_k = 15
    data = loaddata()
    W = getWbyKNN(pixel_vector, KNN_k)
    # 相似度矩阵
    D = getD(W)
    # 度矩阵
    L = D-W
    # 拉普拉斯矩阵
    eigval, eigvec = getEigVec(L, cluster_num)

    clf = KMeans(n_clusters=cluster_num)
    # 新建类对象
    print(eigvec.real)
    s = clf.fit(eigvec.real)
    # 开始聚类
    plot(pixel_vector, s.labels_, cluster_num)

效果

原图：
test.jpg

聚类后：

Figure1.png

笔记
#Python #算法
谱聚类再探
https://siegelion.cn/2020/03/20/谱聚类再探/
作者
siegelion
发布于
2020年3月20日
许可协议