本文最后更新于 2024年4月9日 下午
最近一直在做动态规划的题，也算有了一些自己的小感悟，暂时总结一下
首先看一道例题
题目链接
描述
X 国王有一个地宫宝库。是 n x m 个格子的矩阵。每个格子放一件宝贝。每个宝贝贴着价值标签。
地宫的入口在左上角，出口在右下角。
小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。
走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。
当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是 k 件，则这些宝贝就可以送给小明。
请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这 k 件宝贝。
输入
输入一行 3 个整数，用空格分开：n m k (1<=n,m<=50, 1<=k<=12)
接下来有 n 行数据，每行有 m 个整数 Ci (0<=Ci<=12)代表这个格子上的宝物的价值
输出
要求输出一个整数，表示正好取 k 个宝贝的行动方案数。该数字可能很大，输出它对 1000000007 取模的结果。
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| 输入样例1
2 2 2
1 2
2 1
输出样例1
2
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1
2
3
4
5
6
7
| 输入样例2
2 3 2
1 2 3
2 1 5
输出样例2
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思考
- 动态规划，我们知道这是一种记录 T 时刻状态，通过状态转移方程，推导出 T+1 时刻的状态的算法，是一种空间换时间的算法，状态的记录通常使用数组。
- 求解目标：解决动态规划的问题，首先我们需要明确求解的目标是什么？求解目标就是数组元素的值。上面这道例题中，求解的目标就是到达终点满足条件的方法数目。那么数组元素中记录的值就是方法数。
- 数组：其次我们需要解决的是数组的维数，这个问题我们可以通过观察变量的数目来确定。上面的例题中，影响结果的变量有：横 m、纵坐标 n、物品最大价值 mp、物品数目 k 四个，所以需要引入的是一个数组四维数组。
- 起点：既然是根据前项推出后项，那么如同递归需要有一个出口一样，动态规划需要至少有一个起点——也即数组的某些元素的值是可以在初始阶段确定的。
- 在上面的例题中，
(1,1,0,0)元素的值可以确定（到达终点(1,1)位置，一个元素都不拿，物品的最大价值为 0，明显只有一种方法）
- 同时
(1,1,1,goods[1][1])元素的值也是能确定（只拿一个物品，那么只能拿(1,1)这个位置的物品，拿了之后物品最大价值的就是(1,1)的价值）
- 状态转移方程：最后需要明确的就是状态转移方程，在上面的例题中，到达一个位置拿 k 个物品，有两种方式。
-
不拿当前的物品，那么
Num[i][j][k][mp]+=Num[i-1][j][k][mp]+Num[i][j-1][k][mp]
-
当前位置的物品价值大于已经拿到的最大价值的情况下，那么可以拿起当前物品。但请注意拿起后物品数加一，已经拿到的最大价值也改变。
Num[i][j][k+1][goods[i][j]]+=Num[i-1][j][k][mp]+Num[i][j-1][k][mp]
到这里这道题的总体思路也就解决了，除此外到达终点的物品最大价值可能有多种情况，只要将所有价值情况下的方法数求和即可。
代码
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|
#define ll long long
#define mod 1000000007
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
int graph[51][51];
ll num[51][51][13][13];
int main()
{
int n, m, k;
cin >> n >> m >> k;
memset(graph, 0, sizeof(graph));
memset(num, 0, sizeof(num));
int max_price = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
for (int j = 1; j <= m; ++j)
{
cin >> graph[i][j];
graph[i][j]++;
max_price = max_price < graph[i][j] ? graph[i][j] : max_price;
}
}
num[1][1][0][0] = 1;
num[1][1][1][graph[1][1]] = 1;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
for (int j = 1; j <= m; ++j)
{
for (int l = 0; l <= k; ++l)
{
for (int m = 0; m <= max_price; ++m)
{
if (i != 1)
{
num[i][j][l][m] += num[i - 1][j][l][m];
num[i][j][l][m] %= mod;
if (graph[i][j] > m)
{
num[i][j][l + 1][graph[i][j]] += num[i - 1][j][l][m];
num[i][j][l + 1][graph[i][j]] %= mod;
}
}
if (j != 1)
{
num[i][j][l][m] += num[i][j - 1][l][m];
num[i][j][l][m] %= mod;
if (graph[i][j] > m)
{
num[i][j][l + 1][graph[i][j]] += num[i][j - 1][l][m];
num[i][j][l + 1][graph[i][j]] %= mod;
}
}
}
}
}
}
int ans = 0;
for (int i = 0; i <= max_price; i++)
{
ans = (ans + num[n][m][k][i]) % mod;
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
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